Question

（1）若抛物线的焦点是椭圆

x2

64

+

y2

16

=1的左顶点，求此抛物线的标准方程；
（2）若双曲线与椭圆

x2

64

+

y2

16

=1有相同的焦点，与双曲线

y2

2

-

x2

6

=1有相同渐近线，求此双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（1）先根据椭圆中的a的值求得c值，从而出左顶点的坐标，再根据抛物线的顶点在坐标原点，焦点是 （-8，0）的位置，求得抛物线方程中的p，抛物线方程可得．
（2）由题意得，c=4

3

，

b

a

=

4

3

，48=a²+b²，解出a和b的值，即得所求的双曲线的标准方程．

解答：解：（I）椭圆

x2

64

+

y2

16

=1的左顶点为（-8，0），
∴抛物线的焦点为（-8，0），（2分）
设抛物线方程为y²=-2px（p＞0），
则-

p

2

=-8，p=16，（4分）
∴所求抛物线的标准方程为y²=-32x．（6分）
（II）椭圆

x2

64

+

y2

16

=1的焦点为F1(-4

3

，0)，F2(4

3

，0)，（8分）
双曲线

y2

2

-

x2

6

=1的渐近线方程为y=±

3

3

x，（10分）
设所求双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由题意知：

a2+b2=48 b a = 3 3

（12分）
∴

a2=36 b2=12

∴所求双曲线方程为

x2

36

-

y2

12

=1．（14分）

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和抛物线的标准方程．解答的关键在于考生对圆锥曲线的基础知识的把握．