Question

（1）设椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为，求椭圆的标准方程．
（2）设双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线方程得到它的焦点坐标为F（2，0）也是椭圆的右焦点，由此得到m²-n²=4．根据椭圆离心率为，得到m²-n²=m²，联解得到m²=16，n²=12，即得该椭圆的标准方程；
（2）根据椭圆+=1经过点A的纵坐标为4，算出A的横坐标是，得A（，4）．算出椭圆的焦点坐标为（0，±3）也是双曲线的焦点，由此可设双曲线方程为-=1（0＜k＜9），代入点A坐标解出k=4，从而得到此双曲线的标准方程．
解答：解：（1）∵抛物线y²=8x的焦点坐标为F（2，0）
∴椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点为F（2，0），可得m²-n²=4…①
∵椭圆的离心率e==，∴=…②
联解①②，得m²=16，n²=12
∴该椭圆的标准方程为+=1；
（2）∵椭圆+=1经过点A的纵坐标为4
∴设A（t，4），可得+=1，解之得t=，A（，4）
∵椭圆+=1的焦点为（0，±3），双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，
∴双曲线的焦点为（0，±3），因此设双曲线方程为-=1（0＜k＜9）
将点A（，4）代入，得-=1，解之得k=4（舍负）
∴双曲线方程为=1
点评：本题给出两个曲线有公共的焦点，在已知它们一个交点坐标的情况下求曲线的方程，着重考查了椭圆、双曲线和抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．