Question

化简求值
①tan70°cos10°(

3

tan20°-1)
②已知sin(α+

π

3

)+sinα=-

4 3

5

，(-

π

2

＜α＜0)，求cosα的值．

Answer 1

分析：①先从函数名入手，将“切”化“弦”，再从“形”入手利用两角差的正弦公式化简通分后的分式，最后从“角”入手，利用二倍角公式即可得结果；
②先利用两角和的正弦公式，将已知化简，得sin（α+

π

6

）=-

4

5

，再通过构造角的方法，利用两角差的余弦公式即可求得所求值

解答：解：①tan70°cos10°（ 

3

tan20°-1）
=cot20°cos10°（ 

3 sin20°

cos20°

-1）
=cot20°cos10°（

3 sin20°-cos20°

cos20°

）
=

cos20°

sin20°

×cos10°×（

2( 3 2 sin20°- 1 2 cos20°)

cos20°

）
=

cos20°

sin20°

×cos10°×（

2sin(20°-30°)

cos20°

）
=

cos20°

sin20°

×（-

sin20°

cos20°

）
=-1
②∵sin(α+

π

3

)+sinα=-

4 3

5

，
∴

1

2

sinα+

3

2

cosα+sinα=-

4 3

5

即

3

sin（α+

π

6

）=-

4 3

5

∴sin（α+

π

6

）=-

4

5

，又∵-

π

2

＜α＜0，
∴cos（α+

π

6

）=

3

5

∴cosα=cos（α+

π

6

-

π

6

）=

3

2

cos（α+

π

6

）+

1

2

sin（α+

π

6

）=

3

2

×

3

5

+

1

2

×（-

4

5

）=

3 3 -4

10

点评：本题主要考查了三角变换公式在化简求值中的应用，三角代换、变换角、特殊值特殊角三角函数值的应用等技巧，有一定难度，属中档题