Question

【题目】已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn ， 满足2Sn+bn=1
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）如果cn=anbn ， 设数列{cn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜Sn+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设数列{an}的公差为d，

∵a2、a4、a6+2成等比数列；

∴ =a2（a6+2），

即 =（a1+d）（a1+5d+2），d＞0．

解得d=1，

∴an=1+（n﹣1）=n．

由2Sn+bn=1，

得Sn= ，

当n=1时，2S1+b1=1，解得b1= ，

当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = + ，

∴ ，

∴数列{bn}是首项为 ，公比为 的等比数列，

故 ．

（2）解：证明：由（1）知，cn=anbn= ，

∴Tn= +…+ ，

= +…+ + ，

得 = +…+ ﹣ = ﹣ = ﹣ ，

∴Tn= ﹣ ．

又 = + = ﹣ ，

∵ = ，

∴Tn＜Sn+ ．

【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式、递推关系即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．