解:(1)由题意得
,求得a=2,b=2
∴双曲线的方程为
=1
(2)设直线的方程为x=ty+4,
由
消去x得(3t
2-1)y
2+24ty+36=0
设M(x
1,y
1),N(x
2,y
2)
∴y
1+y
2=
,y
1y
2=
∵直线l与双曲线右支相交,
∴x
1x
2=(ty
1+4)(ty
2+4)=t
2•
+4t•
+16>0
∴
<0,t
2<
∴S
△BMN=
•|BF|•|y
1-y
2|=
=36
∴t
2=
或
,∵t
2<
,∴t=±
∴直线l的方程为2x+y-8=0或2x-y-8=0
(3)∵点P为点M关于x轴的对称点,则p(x
1,-y
1),
∴
=(x
1-1,-y
1),
=(x
1,-y
1),
∵(x
1-1)y
2-(x
2-1)(-y
1)=2t•
+3•
=0
∴
与
共线,
∴B,P,N三点共线.
分析:(1)把点A代入双曲线方程求得a和b的关系,进而根据焦点坐标求得c,可知a和b的另一关系式,联立求得a和b,则双曲线的方程可得.
(2)设直线方程,与双曲线方程联立消去x,设出M,N的坐标,根据韦达定理表示出y
1+y
2和y
1y
2,进而根据直线l与双曲线右支相交,
判断出x
1x
2<0求得t的范围,进而利用三角形面积公式表示出△BMN的面积求得t,则直线l的方程可得.
(3)根据点M的坐标表示出点P的坐标,进而分别表示出
和
,进而求得
-
=0,判断出
和
共线,进而推断出B,P,N三点共线.
点评:本土主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生综合分析问题和基本的运算能力.