Question

已知数列{a_n}是等比数列，其中a₃=1，a₄，a₅+1，a₆成等差数列，数列的前n项和S_n=（n-1）2^n-2+1（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，当n≥3时，求证：．

Answer 1

解：（1）设{a_n}的公比为q，
∵a₃=1，
∴a₄=q，a₅=q²，a₆=q³．
∵a₄，a₅+1，a₆成等差数列，
∴2（q²+1）=q+q³，
解得q=2． （2分）
∴a_n=a₃q^n-3=2^n-3． （3分）
当n=1时，，
∴．（4分）
当n≥2时，，
∴（6分）
（2）用数学归纳法证明如下：
①当n=3时，左边=．
右边=
∵2⁵＞3³，
∴，
∴，
即，
∴左边＞右边，
∴不等式成立．（8分）
②假设n=k（k≥3）时不等式成立．
即，
则当n=k+1时，，
要证n=k+1时不等式也成立，
只需证
即证：．（10分）
下面先证
∵，所以有：

=
又k≥3，
∴
∴当n=k+1时不等式也成立．
综合①②可知：当n≥3时，．（14分）．
分析：（1）设{a_n}的公比为q，由a₃=1，知a₄=q，a₅=q²，a₆=q³．由a₄，a₅+1，a₆成等差数列，能求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
（2）用数学归纳法证明如下：①当n=3时，左边=．右边=．由2⁵＞3³，知不等式成立．②假设n=k（k≥3）时不等式成立．即．那么当n=k+1时，，要证n=k+1时不等式也成立，只需证：，由此能证明当n=k+1时不等式也成立．综合①②可知：当n≥3时，．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法的合理运用．