Question

已知a、b、c成等差数列，则直线ax-by+c=0被曲线x²+y²-2x-2y=0截得的弦长的最小值为（　　）

• A．

  2

• B．1
• C．2

  2

• D．2

Answer 1

分析：利用等差数列的定义得到2b=a+c，求出圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离d，利用勾股定理求出弦长，求出最小值．

解答：解：因为a，b，c成等差数列，
所以2b=a+c．
因为x²+y²-2x-2y=0表示以（1，1）为圆心，以

2

为半径的圆，
则圆心到直线的距离为d=

|a-b+c|

a2+b2

=

|b|

a2+b2

，
则直线ax-by+c=0被曲线x²+y²-2x-2y=0截得的弦长，
l=2

2- b2 a2+b2

=2

2a2+b2 a2+b2

≥2，
当且仅当a=0，且b≠0时，取等号．
所以0截得的弦长的最小值为2，
故选D．

点评：本题考查数列与解析几何的综合运用，是中档题．求直线与圆相交的弦长问题，一般通过构造直角三角形，利用勾股定理求出弦长．