Question

（2013•惠州一模）已知f（x）=Asin（ωx+φ）+1，（x∈R，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期为π，且图象上一个最低点为M（

2

3

π，-1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，

π

12

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）通过函数的周期求出ω，利用函数图象上一个最低点求出A，列出关系式求出φ，推出函数的解析式．
（2）利用函数的解析式，通过x的范围，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的值域即可．

解答：解：（1）因为函数的周期为π，所以T=

2π

ω

，所以ω=2，
因为函数图象上一个最低点为M（

2

3

π，-1）
所以-A+1=-1，所以A=2，
并且-1=2sin（2×

2π

3

+φ）+1，可得sin（2×

2π

3

+φ）=-1，

4π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈Z，
φ=2kπ-

11π

6

，k∈Z，
因为0＜φ＜

π

2

，所以k=1，解得φ=

π

6

．
函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．
（2）因为x∈[0，

π

12

]，所以2x∈[0，

π

6

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

3

]，
sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，

3

2

]，∴2sin（2x+

π

6

）∈[1，

3

]，
2sin（2x+

π

6

）+1∈[2，1+

3

]，
所以f（x）的值域为：[2，1+

3

]．

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的值域的求法，基本知识的应用，考查计算能力．