Question

已知函数 
（1）求函数f(x)的极值；
（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证.

Answer 1

（1）函数在处取得极大值f（1）="1" ，无极小值。
（2）
（3）见解析

试题分析：（1）利用导数的思想，通过导数的符号判定函数的单调性，进而得到极值。
（2）要证明不等式恒成立，移项，右边为零，将左边重新构造新的函数，证明函数的最小值大于零即可。
（3）在第二问的基础上，放缩法得到求和的不等式关系。
解：（1）因为， x >0，则，…………1分
当时，；当时，.
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，
所以函数在处取得极大值f（1）="1" ，无极小值。…………3分
（2）不等式即为 记
所以…………7分
令，则，     ，    
在上单调递增，  ，从而，
故在上也单调递增，  所以，所以 . ……9分
（3）由（2）知：恒成立，即， 
令，则
所以 , ， ，…  …  
，                                …………12分
叠加得：
 .
则，所以 …………14分
点评：解决该试题的关键是对于导数的符号与函数单调性的熟练的运用，并能结合单调性求解函数的 极值和最值问题。难点是对于递进关系的试题，证明不等式，往往要用到上一问的结论。