Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，求f（2）的值．

Answer 1

分析：先对函数进行求导，在x=1处有极值10，可得到两个关系式

f′(1)=0 f(1)=10

，求出a，b，一定要注意f′（x）=0的x的左、右附近导函数的符号的改变，进行验证．

解答：解：由题意，f′（x）=3x²+2ax+b，则

f′(1)=0 f(1)=10

，
即

3+2a+b=0 1+a+b+a2=10

，∴

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3

，
此时当

a=4 b=-11

时，f′（x）=3x²+8x-11=（x-1）（3x+11），
当x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0，∴在x=1处有极值，
∴f（2）=18．
当

a=-3 b=3

时，f′（x）=3（x-1）²，显然在x=1处无极值，
综上，f（2）=18．

点评：极值点处导函数与x轴相交，要注意验证导数为0处左右的函数的单调性．f′（x）=0是函数取得极值的必要不充分条件．因此，涉及到极值问题的研究一定要注意f′（x）=0的x的左、右附近导函数的符号的改变．