Question

一条变动的直线L与椭圆+=1交于P、Q两点，M是L上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M的轨迹方程，并说明曲线的形状．

 

Answer 1

【答案】

x²+2y²=1．

【解析】

试题分析：设动点M(x，y)，动直线L：y=x+m，并设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)是方程组的解，消去y，得3x²+4mx+2m²－4=0，其中Δ=16m²－12(2m²－4)>0，∴－<m<，且x₁+x₂=－，x₁x₂=，又∵|MP|=|x－x₁|，|MQ|=|x－x₂|．由|MP||MQ|=2，得|x－x₁||x－x₂|=1，也即

|x²－(x₁+x₂)x+x₁x₂|=1，于是有∵m=y－x，∴|x²+2y²－4|=3．由x²+2y²－4=3，得椭圆夹在直线间两段弧，且不包含端点．由x²+2y²－4=－3，得椭圆x²+2y²=1．

考点：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的求法。

点评：解答中从联立方程组出发，运用韦达定理，体现了整体观，是解析几何问题中的常见类型。