Question

已知椭圆的两个焦点分别是F1(0，-2

2

)，F2(0，2

2

)，离心率e=

2 2

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为-

1

2

，求直线l的倾斜角的范围．

Answer 1

分析：（1）根据焦距，求得a和b的关系，利用离心率求得a和b的另一公式联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用判别式大于0大于k和b的不等式关系，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根据MN的中点的横坐标求得k和b的关系，进而求得b的范围，分别看b≥3和b≤-3两种情况，求得k的范围，则直线的倾斜角的范围可得．

解答：解：（1）依题意可知

a2-b2=8 a2-b2 a2 = 8 9

求得a=3，b=1
∴椭圆的方程为：

y2

9

+ x2=1
（2）直线l不与坐标轴平行，设为y=kx+b（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立方程：

y=kx+b y2 9 +x2=1

则（9+k²）x²+2kbx+b²-9=0
△=（2kb）²-4（9+k²）（b²-9）＞0，k²-b²+9＞0
x₁+x₂=-

2kb

9+k2

，x₁x₂=

b2-9

9+k2

MN的中点的横坐标=

1

2

（x₁+x₂）=-

1

2

所以x₁+x₂=-1，可得所以9+k²=2kb，
整理得（k-b）²=b²-9≥0，故b²≥9，解得b≥3或b≤-3
又b（b-2k）＜0
所以b≥3时，b-2k＜0，k＞

b

2

≥

3

2

b≤-3＜0时，b-2k＞0，k＜

b

2

≤-

3

2

所以k的取值范围为（-∞，-

3

2

）∪（

3

2

，+∞）
直线l的倾斜角的取值范围为：（arctan

3

2

，

π

2

）∪（

π

2

，π-arctan

3

2

）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系．