Question

已知向量

a

=（m，cos2x），

b

=（sin2x，n），设函数f（x）=

a

•

b

，且y=f（x）的图象过点f（

2π

3

）=msin

4π

3

+ncos

4π

3

=-2和点（

2π

3

，-2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）首先根据向量的数量积的坐标运算求得f（x）=msin2x+ncos2x，进一步根据图象经过的点求得：m和n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，f（x）向左平移φ个单位得到g（x）=2sin（2x+2Φ+

π

6

）设g（x）的对称轴x=x₀，最高点的坐标为：（x₀，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：g（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，进一步求得单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）已知：

a

=(m，cos2x)，

b

=(sin2x，n)，
则：f(x)=

a

•

b

=msin2x+ncos2x，
y=f（x）的图象过点f（

2π

3

）=msin

4π

3

+ncos

4π

3

=-2和点（

2π

3

，-2）．
则：

1 2 m+ 3 2 n= 3 - 3 2 m- 1 2 n=-2

解得：

m= 3 n=1

，
即：m=

3

，n=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，f（x）向左平移φ个单位得到g（x）=2sin（2x+2Φ+

π

6

），
设g（x）的对称轴x=x₀，最高点的坐标为：（x₀，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：

1+x02

=1，解得：x0=0，
则：g（0）=2，
解得：Φ=

π

6

，
所以：g（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x．
令：-π+2kπ≤2x≤2kπ （k∈Z）
则：单调递增区间为：[-

π

2

+kπ，kπ]（k∈Z）
故答案为：（Ⅰ）m=

3

，n=1
（Ⅱ）单调递增区间为：[-

π

2

+kπ，kπ]（k∈Z）

点评：本题考查的知识要点：向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题．