Question

20．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=2，S₆=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=2}\\{6{a}_{1}+15d=15}\end{array}\right.$计算可知首项和公差，进而可得结论；
（Ⅱ）通过a_n=n-1可知b_n=2^n-1，进而计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）因为数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，
由题设可知$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=2}\\{6{a}_{1}+15d=15}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=0}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=0+（n-1）=n-1；
（Ⅱ）∵a_n=n-1，
∴b_n=2^a_n=2^n-1，
即数列{b_n}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴T_n=$\frac{{b}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．