Question

5．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的焦距为2，且过椭圆右焦点F₂与上顶点的直线l₁与圆O：x²+y²=$\frac{1}{2}$相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在直线l₂，满足l₂∥l₁，并且l₂与椭圆E交于A、B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，若存在，请求出l₂的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过焦距为2可知c=1、F₂（1，0），进而直线l₁的方程为：bx+y-b=0，利用直线l₁与圆O：x²+y²=$\frac{1}{2}$相切可知b=1，进而可得结论；
（2）假设存在直线l₂满足题设条件并设l₂：y=-x+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理可知m²＜3，通过设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用以AB为直径的圆与y轴相切可知$\frac{1}{2}$|AB|=|$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）|，计算即得结论．

解答 解：（1）∵焦距为2，
∴c=1，∴F₂（1，0），
∴过椭圆右焦点F₂与上顶点的直线l₁的方程为：$\frac{x}{1}+\frac{y}{b}=1$，即bx+y-b=0，
∵直线l₁与圆O：x²+y²=$\frac{1}{2}$相切，
∴$\frac{|0+0-b|}{\sqrt{1+{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$，解得b=1，
∴a²=b²+c²=1+1=2，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）结论：存在直线l₂：y=-x±$\frac{\sqrt{6}}{2}$满足题设条件．
理由如下：
假设存在直线l₂满足题设条件，
由（1）知l₁：y=-x+1，
设l₂：y=-x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：3x²-4mx+2m²-2=0，则△=（-4m）²-12（2m²-2）＞0，即m²＜3，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，x₁+x₂=$\frac{4m}{3}$，
∴AB的中点横坐标为$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{2m}{3}$，则以AB为直径的圆的半径r=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=|$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）|，
整理得：$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$=8x₁x₂，
∴（$\frac{4m}{3}$）²=8•$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
∴m²=$\frac{3}{2}$＜3，
∴m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故存在直线l₂：y=-x±$\frac{\sqrt{6}}{2}$满足题设条件．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．