Question

11．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂（$\frac{x}{1-x}$）的图象上的任意两点．
（1）当x₁+x₂=1，求f（x₁）+f（x₂）的值；
（2）设S_n=f（$\frac{1}{n+1}$）+f（$\frac{2}{n+1}$）+f（$\frac{3}{n+1}$）…f（$\frac{n-1}{n+1}$）+f（$\frac{n}{n+1}$），其中n∈N^*，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由x₂=1-x₁，推导出f（x₁）+f（x₂）=1+=1+log₂1=1；
（2）由（1）可得f（x）+f（1-x）=1，S_n=f（$\frac{1}{n+1}$）+f（$\frac{2}{n+1}$）+f（$\frac{3}{n+1}$）…f（$\frac{n-1}{n+1}$）+f（$\frac{n}{n+1}$），利用倒序相加求和法得到2S_n=n，由此能求出S_n=$\frac{n}{2}$．

解答 解：（1）∵A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$的图象上的任意两点．
∴?x₁，x₂∈（0，1），且x₁+x₂=1时，即x₂=1-x₁，
f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$
=1+log₂1=1；
（2）由（1）可得，f（x）+f（1-x）=1，
S_n=f（$\frac{1}{n+1}$）+f（$\frac{2}{n+1}$）+f（$\frac{3}{n+1}$）…f（$\frac{n-1}{n+1}$）+f（$\frac{n}{n+1}$），①
∴S_n=f（$\frac{n}{n+1}$）+f（$\frac{n-1}{n+1}$）+…+f（$\frac{2}{n+1}$）+f（$\frac{1}{n+1}$），②
①+②，得2S_n=[f（$\frac{1}{n+1}$）+f（$\frac{n}{n+1}$）]+[f（$\frac{2}{n+1}$）+f（$\frac{n-1}{n+1}$）]+…+[f（$\frac{n}{n+1}$）+f（$\frac{1}{n+1}$）]，
∴2S_n=n，
∴S_n=$\frac{n}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，数列的前n项和的求法，考查运算能力，解题时要注意倒序求和法的合理运用．