Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a₁=a（a≠2，a∈R），a_n+1=3S_n-2ⁿ⁺¹．求证：{S_n-2ⁿ}为等比数列．

Answer 1

分析 由a_n+1=S_n+1-S_n=3S_n-2ⁿ⁺¹化简可得S_n+1-2ⁿ⁺¹=4（S_n-2ⁿ），从而证明为等比数列即可．

解答 证明：由已知得，
a_n+1=S_n+1-S_n=3S_n-2ⁿ⁺¹，
所以S_n+1=4S_n-2ⁿ⁺¹，
所以S_n+1-2ⁿ⁺¹=4S_n-2ⁿ⁺²，
所以S_n+1-2ⁿ⁺¹=4（S_n-2ⁿ），
且S₁-2=a₁-2=a-2≠0，
所以{S_n-2ⁿ}是以a-2为首项，4为公比的等比数列．

点评 本题考查了等比数列的判断与应用，属于基础题．