Question

14．在直角坐标系中，已知A点在第一象限，B在第二象限，△AOB为等边三角形，设∠AOC=θ，C（2，0）．
（1）求θ的范围；
（2）用θ表示S_△BOC；
（3）当θ为何值时，S_△BOC最大？

Answer 1

分析 （1）由题意可得范围$\left\{\begin{array}{l}{0＜θ＜\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{2}＜θ+\frac{π}{3}＜π}\end{array}\right.$，从而解得θ的范围．
（2）由题意开设等边三角形△AOB的边长为a（a＞0），根据已知及三角形面积公式即可得解．
（3）由（2）及正弦函数的图象和性质即可求得最值及此时的θ值．

解答 解：（1）∵A点在第一象限，B在第二象限，△AOB为等边三角形，∠AOC=θ，
∴可得：$\left\{\begin{array}{l}{0＜θ＜\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{2}＜θ+\frac{π}{3}＜π}\end{array}\right.$，解得：$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}$．
（2）∵由题意开设等边三角形△AOB的边长为a（a＞0），C（2，0）．
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC•OB•sin∠BOC=$\frac{1}{2}×2×a×sin（θ+\frac{π}{3}）$=asin（$θ+\frac{π}{3}$）．（a＞0）
（3）由（2）可得：当$θ+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{6}$时，S_△BOC^取最大值为a，（a＞0）．

点评 本题主要考查了三角形面积公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．