Question

9．已知x，y，z∈R₊，且x+y+z=1．
（1）若$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{y+1}$+$\sqrt{z+1}$=2$\sqrt{3}$，求x，y，z的值．
（2）求证：$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$+$\frac{z}{1+z}$≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用柯西不等式得：（x+1+y+1+z+1）（1+1+1）≥（$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{y+1}$+$\sqrt{z+1}$）²，结合取等号的条件，即可求x，y，z的值．
（2）证明$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$≥$\frac{9}{4}$，利用$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$+$\frac{z}{1+z}$=1-$\frac{1}{1+x}$+1-$\frac{1}{1+y}$+1-$\frac{1}{1+z}$=3-（$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$），即可证明结论．

解答 （1）解：柯西不等式得：（x+1+y+1+z+1）（1+1+1）≥（$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{y+1}$+$\sqrt{z+1}$）²，
∵$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{y+1}$+$\sqrt{z+1}$=2$\sqrt{3}$，x+y+z=1
∴x+1=y+1=z+1，
∴x=y=z=$\frac{1}{3}$；
（2）证明：∵（1+x+1+y+1+z）（$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$）≥（1+1+1）²，x+y+z=1．
∴$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$≥$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$+$\frac{z}{1+z}$=1-$\frac{1}{1+x}$+1-$\frac{1}{1+y}$+1-$\frac{1}{1+z}$=3-（$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$）≤3-$\frac{9}{4}$=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$+$\frac{z}{1+z}$≤$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确变形，利用柯西不等式是关键．