Question

1．求函数y=3+$\sqrt{2+x}$+$\sqrt{2-x}$的值域．

Answer 1

分析 根据函数y的解析式，求出它的定义域；再利用导数求出函数y的最大、最小值，从而得出y的值域．

解答 解：∵函数y=3+$\sqrt{2+x}$+$\sqrt{2-x}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+x≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$，
∴-2≤x≤2；
又y′=$\frac{1}{2\sqrt{2+x}}$-$\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$=$\frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}}{2\sqrt{（2+x）（2-x）}}$，
令y′=0，解得x=0；
∴当-2＜x＜0时，y′＞0，y是增函数，
当0＜x＜2时，y′＜0，y是减函数；
∴当x=0时，函数y取得最大值3+2$\sqrt{2}$，
又x=-2时，y=3+2=5，
x=2时，y=3+2=5，
∴函数y的最小值是5；
∴y的值域是[5，3+2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了利用函数的解析式求定义域和值域的应用问题，也考查了利用导数求最值的应用问题，是基础题目．