Question

11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=1，A=2B，则a的范围为$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 根据锐角三角形的条件和A=2B列出不等式组，求出B的范围，利用正弦定理和条件求出a的表达式，根据余弦函数的性质求出a的范围．

解答 解：∵在锐角△ABC中，A=2B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2B＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{4}$，
∵b=1，A=2B，
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，则$\frac{a}{sin2B}=\frac{1}{sinB}$，
解得a=2cosB，
∵$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{4}$，∴cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴a的范围为$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，
故答案为：$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

点评 本题考查正弦定理，二倍角公式，以及余弦函数的性质应用，由锐角三角形求出B的范围是解题的关键，属于中档题．