Question

2．（1）已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），求证：$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{{{{（a+b）}^2}}}{x+y}$，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数$f（x）=\frac{1}{2x}+\frac{2}{1-x}，（x∈（0，1））$的最小值，指出取最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式a²+b²≥2ab，乘积一定，和有最小值，等号成立的条件是两正数相等；
（2）利用（1）的结论，将（2）变形为f（x）=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{x}+\frac{（\sqrt{2}）^{2}}{1-x}$即可．

解答 解：（1）应用二元均值不等式，得（$\frac{{a}^{2}}{x}+\frac{{b}^{2}}{y}$）（x+y）=a²+b²+${a}^{2}•\frac{y}{x}$+${b}^{2}•\frac{x}{y}$
≥a²+b²+2$\sqrt{{a}^{2}•\frac{y}{x}•{b}^{2}•\frac{x}{y}}$=（a+b）²，
故$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{{{{（a+b）}^2}}}{x+y}$．
当且仅当${a}^{2}•\frac{y}{x}$+${b}^{2}•\frac{x}{y}$，即$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$时上式取等号．
（2）由（1）f（x）=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{x}+\frac{（\sqrt{2}）^{2}}{1-x}$≥$\frac{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}{x+1-x}$=$\frac{9}{2}$
当且仅当$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{x}$=$\frac{\sqrt{2}}{1-x}$，即x=$\frac{1}{3}$时上式取最小值，即[f（x）]_min=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查不等式的应用，另外给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．