Question

14．已知△ABC中，AD为角A的平分线，AC=2，AB=3，AD=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，则BC=$\sqrt{43}$．

Answer 1

分析 根据角平线的性质，可设AD=2x，CD=x，然后结合余弦定理列方程解之即可

解答 解：因为AD是∠A的平分线，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，
不妨设BD=2x，CD=3x，
结合已知得cos∠BAD=cos∠CAD，
由余弦定理得$\frac{{2}^{2}+（\frac{6\sqrt{3}}{5}）^2-（2x）^{2}}{2×2×\frac{6\sqrt{3}}{5}}=\frac{{3}^{2}+（\frac{6\sqrt{3}}{5}）^{2}-（3x）^{2}}{2×3×\frac{6\sqrt{3}}{5}}$，整理得x²=$\frac{43}{25}$
解得x=±$\frac{\sqrt{43}}{5}$，负值舍去，故x=$\frac{\sqrt{43}}{5}$，所以BC=5x=$\sqrt{43}$．
故答案为：$\sqrt{43}$．

点评 本题考查了解三角形的有关知识和方法，解题的关键是角平分线的性质以及利用两个角相等结合余弦定理列出方程求．．