Question

9．已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若x=$\frac{1}{2}$是f（x）的一个极值点，且f（x）的图象在x=1处的切线与直线3x+y-1=0平行．
（1）求f（x）的解析式及单调区间
（2）若对任意的x∈[$\frac{1}{4}$，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（t）=t²+t-2的最值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在x=$\frac{1}{2}$时取得极值得f'（$\frac{1}{2}$）=0，由f（x）的图象在x=1处的切线与直线3x+y-1=0平行得f′（1）=-3，联立方程组可求得a，b，再根据导数和函数的单调性的关系求出单调区间；
（2）由（1）求出函数f（x）的最小值，得到t²-2t-1≤2，求出t的范围，再根据二次函数性质求出函数g（t）的最值．

解答 （1）∵f（x）=ax³-bx²+9x+2，
∴f'（x）=3ax²-2bx+9，
由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（\frac{1}{2}）=0}\\{f′（1）=-3}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}a-b+9=0}\\{3a-2b+9=-3}\end{array}\right.$，解得a=4，b=12，
∴f（x）=4x³-12x²+9x+2，
∴f'（x）=12x²-24x+9，
令f'（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，或x=$\frac{3}{2}$，
当f'（x）＞0，即x＜$\frac{1}{2}$，或x＞$\frac{3}{2}$，函数f（x）单调递增，
当f'（x）＜0，即$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，函数f（x）单调递减，
∴函数f（x）的增区间为（-∞，$\frac{1}{2}$），（$\frac{3}{2}$，+∞） 减区间（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（2）由（1）函数f（x）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），（$\frac{3}{2}$，2）递增，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）递减，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，函数有最小值，即f（$\frac{3}{2}$）=2，
∵对任意的x∈[$\frac{1}{4}$，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，
∴t²-2t-1≤2，
解得-1≤t≤3，
∵g（t）=t²+t-2=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴g（t）在[-1，-$\frac{1}{2}$）上递减，在（-$\frac{1}{2}$，3]上递增，
∴当t=-$\frac{1}{2}$时有最小值，最小值为-$\frac{9}{4}$，
当t=3时有最大值，最大值为10．

点评 本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值和最值，属中档题，掌握导数与函数的极值、最值的关系是解决问题的关键．