Question

20．若存在实数a，对任意实数x∈[0．m]，均有（sinx-a）（cosx-a）≤0，则实数m的最大值是（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{5π}{4}$

Answer 1

分析 根据已知不等式得到，$\left\{\begin{array}{l}{sinx-a≤0}\\{cosx-a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx-a≥0}\\{cosx-a≤0}\end{array}\right.$，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．

解答 解：∵（sinx-α）（cosx-α）≤0，
∴，$\left\{\begin{array}{l}{sinx-a≤0}\\{cosx-a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx-a≥0}\\{cosx-a≤0}\end{array}\right.$，
∴sinx≤a≤cosx，或sinx≥a≥cosx；
当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时sinx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤cosx；
当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时cosx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sinx，
∴m的最大值是$\frac{3π}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的最值．三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．