Question

8．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin²θ=8cosθ与直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）相交于P，Q两点，则|PQ|=$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 曲线C：ρsin²θ=8cosθ，即ρ²sin²θ=8ρcosθ，化为直角坐标方程，把直线l参数方程代入上述方程可得：3t²-16t-64=0，利用|PQ|=|t₁-t₂|即可得出．

解答 解：曲线C：ρsin²θ=8cosθ，即ρ²sin²θ=8ρcosθ，化为y²=8x．
把直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入上述方程可得：3t²-16t-64=0，
解得t₁=-$\frac{8}{3}$，t₂=8．
∴|PQ|=|t₁-t₂|=$|-\frac{8}{3}-8|$=$\frac{32}{3}$．
故答案为：$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．