Question

16．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明{a_n}是等比数列；
（2）令b_n=（2n+1）a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）通过n=1可知首项，通过n≥2、利用a_n=S_n-S_n-1可知通项，进而可得结论；
（II）通过${a_n}={3^n}$可知${b_n}=（2n+1）{3^n}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （I）证明：①当n=1时，a₁=S₁=3；
②当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{1}{2}（{3^{n+1}}-{3^n}）={3^n}$；
综合①②，可得${a_n}={3^n}$，
∵$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3（n∈{N_+}）$，
∴数列{a_n}是公比为3的等比数列；
（II）解：∵${a_n}={3^n}$，b_n=（2n+1）a_n（n∈N^*），
∴${b_n}=（2n+1）{3^n}$，
T_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，
∴3T_n=3•3²+5•3³+7•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2T_n=9+2•（3²+3³+…+3^n-1+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=9+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=-2n•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等比数列的判定，考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．