Question

8．设函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，y=f（x）=log_a（x-3a），-y=g（x-2a）；则g（x-2a）=-log_a（x-3a），利用换元法求函数解析式；
（2）利用（1）中函数y=g（x）的解析式得到|f（x）-g（x）|≤1，则-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1，利用复合函数的单调性来求a．

解答 解：（1）设点Q的坐标为（x′，y′），则x′=x-2a，y′=-y．即x=x′+2a，y=-y′．
∵点P（x，y）在函数y=log_a（x-3a）的图象上，
∴-y′=log_a（x′+2a-3a），
即y′=log_a$\frac{1}{{x}^{2}-a}$，
∴g（x）=log_a$\frac{1}{x-a}$．
（2）由题意得x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0；
又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，
∵|f（x）-g（x）|=|log_a（x-3a）-log_a$\frac{1}{x-a}$|=|log_a（x²-4ax+3a²）|，又|f（x）-g（x）|≤1，
∴-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1，
∵0＜a＜1，
∴a+2＞2a．H（x）=x²-4ax+3a²在[a+2，a+3]上为增函数，
∴μ（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在[a+2，a+3]上为减函数，
从而[μ（x）]_max=μ（a+2）=log_a（4-4a），[μ（x）]_min=μ（a+3）=log_a（9-6a），
于是所求问题转化为求不等式组$\left\{\begin{array}0＜a＜1\\{log_a}（9-6a）≥-1\\{log_a}（4-4a）≤1\end{array}\right.$的解．
由log_a（9-6a）≥-1解得0＜a≤$\frac{{9-\sqrt{57}}}{12}$，由log_a（4-4a）≤1解得0＜a≤$\frac{4}{5}$，
∴所求a的取值范围是0＜a≤$\frac{{9-\sqrt{57}}}{12}$．

点评 本题考查了图象的变换及换元法求函数的解析式及函数的定义域的应用，属于基础题．