Question

18．直线l过点（1，3）且与圆M：x²+（y+1）²=4相交于P、Q，弦PQ长为2$\sqrt{3}$，则直线l的方程为x=1，或15x-8y+9=0．

Answer 1

分析 当直线的斜率不存在时，求出直线方程检验是否满足条件；当直线的斜率存在时，由弦长公式求出圆心到直线的距离等于d，由此求得斜率，即得所求的直线方程．

解答 解：圆M：x²+（y+1）²=4的圆心为（0，-1），半径等于2．
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，与圆的交点为（0，-1-$\sqrt{3}$），（0，-1+$\sqrt{3}$），弦长等于2$\sqrt{3}$，满足条件．
当直线的斜率存在时，设直线y-3=k（x-1），kx-y+3-k=0，设圆心到直线的距离等于d，
∵2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，∴d=1，由点到直线的距离公式得$\frac{|1+3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k=$\frac{15}{8}$，直线为15x-8y+9=0．
综上，所求的直线方程为x=1，或15x-8y+9=0，
故答案为：x=1，或15x-8y+9=0．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．要注意考虑斜率不存在的情况．