Question

7．已知如图，A、D是⊙O上的点，A、B、C三点在一条直线上，直线CD经过圆心O，BD⊥BC，$\frac{BA}{AC}$=$\frac{DB}{DC}$．
（Ⅰ）求证：直线BC是⊙O的切线；
（Ⅱ）若AB=$\sqrt{5}$，DO=2，求BO的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长BD到E，使DE=DC，连结CE、AD、AO，证明BD∥AO，AO⊥BC，即可证明直线BC是⊙O的切线；
（Ⅱ）延长BO交⊙O于F，设BO交⊙O于G，由（Ⅰ）得AB²=BG•BF=（BO-DO）（BO+DO），即可求BO的长．

解答 （Ⅰ）证明：延长BD到E，使DE=DC，连结CE、AD、AO．
∴∠E=∠DCE，∠OAD=∠ODA．…（1分）
∵$\frac{BA}{AC}$=$\frac{DB}{DC}$，∴$\frac{BA}{AC}$=$\frac{DB}{DE}$，
∴AD∥CE．…（2分）
∴∠E=∠ADB，∠ODA=∠DCE，
∴∠ODA=∠ADB．…（3分）
∴∠BAD=∠OAD．
∴BD∥AO．…（4分）
∵BD⊥BC，
∴AO⊥BC，…（5分）
∴直线BC是⊙O的切线．…（6分）
（Ⅱ）解：延长BO交⊙O于F，设BO交⊙O于G．
由（Ⅰ）得AB²=BG•BF=（BO-DO）（BO+DO），…（8分）
∵AB=$\sqrt{5}$，DO=2，
∴（$\sqrt{5}$）²=BO²-2²，…（9分）
解得，BO=3．…（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．