Question

3．函数f（x）=$\frac{sin（x+\frac{π}{3}）}{sin（x+\frac{π}{4}）}$，x∈[0，$\frac{π}{4}$]的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由两角和与差的正弦函数公式化简可得f（x）=$\frac{tanx+\sqrt{3}}{\sqrt{2}tanx+\sqrt{2}}$，设t=tanx+1，由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，则t=tanx+1∈[1，2]，f（x）=$\frac{t+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}t}$，从而可求当t=1时，f（x）_min的值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{sin（x+\frac{π}{3}）}{sin（x+\frac{π}{4}）}$=$\frac{\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx}{\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx}$=$\frac{tanx+\sqrt{3}}{\sqrt{2}tanx+\sqrt{2}}$，设t=tanx+1，由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，则t=tanx+1∈[1，2]，
∴f（x）=$\frac{t+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}t}$，
∴当t=1时，f（x）_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，正切函数的图象和性质，属于基本知识的考查．