Question

8．已知正实数a，b满足：a+b=2，记$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值m．设函数$f（x）=|x-t|+|x+\frac{1}{t}|（t≠0）$，若存在实数x，使得f（x）=m，则x的取值范围为（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-2，2]
• C． [-1，0]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 由条件利用基本不等式求得m=2，利用绝对值三角不等式求得f（x）≥|t+$\frac{1}{t}$|=|t|+|$\frac{1}{t}$|，再利用基本不等式求得f（x）≥2，当且仅当t=±1等号时成立，此时-1≤x≤1，从而得出结论．

解答 解：由正实数a，b满足a+b=2，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{2a}$+$\frac{a+b}{2b}$=1+$\frac{b}{2a}$+$\frac{a}{2b}$≥1+2$\sqrt{\frac{1}{4}}$=2，
当且仅当$\frac{b}{2a}$=$\frac{a}{2b}$，即a=b=1时，取等号，故$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值m=2．
由题意可得函数$f（x）=|x-t|+|x+\frac{1}{t}|（t≠0）$，存在实数x，使得f（x）=m=2，
由于f（x）=|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|≥|（x-t）-（x+$\frac{1}{t}$）|=|t+$\frac{1}{t}$|=|t|+|$\frac{1}{t}$|≥2，
当且仅当t=±1等号时成立，此时-1≤x≤1，
∴存在x∈[-1，1]，使f（x）=m成立，
故选：A．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、基本不等式的应用，属于基础题．