Question

19．已知b²+c²=a²+bc．
（1）求角A的大小；
（2）如果cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围和特殊角的余弦值求出A；
（2）由题意和平方关系求出sinB的值，由正弦定理求出a的值，代入b²+c²=a²+bc化简求出c，代入三角形的面积公式求值即可．

解答 解：（1）因为b²+c²=a²+bc，
所以由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，…（3分）
又0＜A＜π，则A=$\frac{π}{3}$…（5分）
（2）因为0＜A＜π，且cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…（6分）
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，则a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3…（7分）
因为b²+c²=a²+bc，所以c²-2c-5=0…（8分）
解得c=$1±\sqrt{6}$，因为c＞0，所以c=$1+\sqrt{6}$…（10分）
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×（1+\sqrt{6}）×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}$…（12分）

点评 本题考查正弦、余弦定理，平方关系，以及三角形的面积公式，注意内角的范围，属于中档题．