Question

11．已知（1+$\frac{x}{4}$）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ（n∈N^*）．
（1）若a₀+a₁+a₂+…+a_2n=$\frac{625}{256}$，求a₃的值；
（2）求证：a_n＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（n∈N^*）
（3）若存在整数k （0≤k≤2n），对任意的整数m（0≤m≤2n），总有a_k≥a_m成立，这样的k是否唯一？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）取x=1，求出n，再求a₃的值；
（2）${a_n}=\frac{{C_{2n}^n}}{4^n}$，利用数学归纳法证明：$\frac{{C_{2n}^n}}{4^n}＜\frac{1}{{\sqrt{2n+1}}}$；
（3）$\frac{a_k}{{{a_{k-1}}}}=\frac{{C_{2n}^k}}{4^k}•\frac{{{4^{k-1}}}}{{C_{2n}^{k-1}}}=\frac{{\frac{（2n）!}{k!（2n-k）!}}}{{4•\frac{（2n）!}{（k-1）!（2n-k+1）!}}}=\frac{2n-k+1}{4k}$（1≤k≤2n，k∈N^*），设小于或等于$\frac{2n+1}{5}$的最大整数为M，则当$\frac{2n+1}{5}=M$时，满足条件的正整数k有2个，即k=M或k=M-1；当$\frac{2n+1}{5}＞M$时，满足条件的正整数k只有1个，即k=M．

解答 解：（1）取x=1，有a₀+a₁+a₂+…+a_2n=（1+$\frac{1}{4}$）²ⁿ=$\frac{625}{256}$，解得n=2，…（2分）
此时a₃=${C}_{4}^{3}•（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{1}{16}$．                               …（4分）
（2）${a_n}=\frac{{C_{2n}^n}}{4^n}$，下面证明：$\frac{{C_{2n}^n}}{4^n}＜\frac{1}{{\sqrt{2n+1}}}$，
当n=1时，左=$\frac{1}{2}$，右=$\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，左＜右，命题成立； …（6分）
假设当n=k时，命题成立，有$\frac{{C}_{2k}^{k}}{{4}^{k}}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$，
则n=k+1时，$\frac{{C}_{2k+2}^{k+1}}{{4}^{k+1}}$=$\frac{1}{{4}^{k+1}}$•$\frac{（2k+2）!}{（k+1）!（k+1）!}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{（2k+1）（2k+2）}{（k+1）!}$•$\frac{1}{{4}^{k}}$•$\frac{（2k）!}{k!k!}$
＜$\frac{1}{4}$•$\frac{2（2k+1）}{k+1}$•$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$＞$\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$，命题也成立．
由上知，$\frac{{C_{2n}^n}}{4^n}＜\frac{1}{{\sqrt{2n+1}}}$（n∈N^*），即a_n＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（n∈N^*）．…（10分）
（3）由题意知：a_k是a₀，a₁，…，a_2n中的最大项．${a_k}=\frac{{C_{2n}^k}}{4^k}$，${a_{k-1}}=\frac{{C_{2n}^{k-1}}}{{{4^{k-1}}}}$．
所以$\frac{a_k}{{{a_{k-1}}}}=\frac{{C_{2n}^k}}{4^k}•\frac{{{4^{k-1}}}}{{C_{2n}^{k-1}}}=\frac{{\frac{（2n）!}{k!（2n-k）!}}}{{4•\frac{（2n）!}{（k-1）!（2n-k+1）!}}}=\frac{2n-k+1}{4k}$（1≤k≤2n，k∈N^*），（10分）
令$\frac{2n-k+1}{4k}≥1$，得$k≤\frac{2n+1}{5}$，设小于或等于$\frac{2n+1}{5}$的最大整数为M，则
当1≤k≤M时，a_k-1≤a_k，故a₀＜a₁＜…＜a_M-1≤a_M（$M=\frac{2n+1}{5}$时取等号）；
当M＜k≤2n时，$\frac{2n-k+1}{4k}＜1$，a_k-1＞a_k，故a_M＞a_M+1＞…＞a_2n．…（14分）
所以当$\frac{2n+1}{5}=M$时，满足条件的正整数k有2个，即k=M或k=M-1；
当$\frac{2n+1}{5}＞M$时，满足条件的正整数k只有1个，即k=M．…（16分）

点评 本题考查二项式定理的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．