Question

1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理、商的关系化简式子，求出tanA的值，由A的范围求出角A的大小；
（Ⅱ）解法一：由条件和余弦定理列出方程，利用基本不等式求出b+c的范围，再求出△ABC的周长最大值；
解法二：根据条件和正弦定理表示出b+c，利用两角和与差的正弦函数化简，求出B的范围，再由正弦函数的性质求出b+c的最大值，即可求出△ABC的周长最大值．

解答 解：（Ⅰ）依正弦定理可将$asinB=\sqrt{3}bcosA$化为：$sinAsinB=\sqrt{3}sinBcosA$…（2分）
因为在sinB＞0中，sinB＞0，
所以$sinA=\sqrt{3}cosA$，即$tanA=\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$．                …（5分）
（Ⅱ）因为=a+b+c=4+b+c的周长=a+b+c=4+b+c，
所以当b+c最大时，△ABC的周长最大，
解法一：因为a²=c²+b²-2bccosA=（b+c）²-3bc，…（7分）
因为a=4，且$bc≤\frac{{{{（b+c）}^2}}}{4}$，
∴16$≥\frac{{{{（b+c）}^2}}}{4}$，即b+c≤8（当且仅当b=c=4时等号成立） …（11分）
所以△ABC周长的最大值为12．…（12分）
解法二：因为$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
所以b+c=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{2π}{3}-B$）]
=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（sinB+sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB）
=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）=8sin（B+$\frac{π}{6}$），
由$\frac{2π}{3}-B$＜0得，0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
当B=$\frac{π}{3}$时，8sin（B+$\frac{π}{6}$）=8，b+c取到最大值是8，
所以△ABC周长的最大值为12．

点评 本题考查正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数，正弦函数的性质，以及基本不等式求最值问题，属于中档题．