Question

4．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n与2的算术平均数恰好是a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_2n-1，且$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$＜m²-m-$\frac{3}{2}$对一切n∈N^*均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n整理得a_n+1=2a_n，进而可得结论；
（2）通过a_n=2ⁿ、裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加可知$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}•$（1-$\frac{1}{2n+1}$），进而可得结论．

解答 解：（1）∵S_n与2的算术平均数恰好是a_n，
∴S_n=2a_n-2，a_n≠0，
∴S_n+1=2a_n+1-2，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n，
即a_n+1=2a_n，
又∵a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=log₂a_2n-1=log₂2^2n-1=2n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$
=$\frac{1}{2}•$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}•$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
∵$\frac{1}{2}•$（1-$\frac{1}{2n+1}$）随着n的增大而增大，且越来越接近于$\frac{1}{2}$，
∴m²-m-$\frac{3}{2}$≥$\frac{1}{2}$，
整理得：（m-2）（m+1）≥0，
解得m≥2或m≤-1，
∴实数m的取值范围为：（-∞，-1]∪[2，+∞）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．