Question

15．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1≤0}\\{x+y-5≥0}\\{y-4≤0}\end{array}\right.$，若不等式a（x+y）≥x-y恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{3}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，将不等式恒成立进行转，求出目标函数的最值即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则由图象可知x＞0，y＞0，
则不等式a（x+y）≥x-y恒成立，
等价为不等式a≥$\frac{x-y}{x+y}$=$\frac{x+y-2y}{x+y}$=1-2$•\frac{y}{x+y}$=1-$\frac{2}{1+\frac{y}{x}}$恒成立，
设k=$\frac{y}{x}$，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象可知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-4=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（2，3），
则OA的斜率k_OA=$\frac{4}{1}=4$，OC的斜率k_OC=$\frac{3}{2}$，
故$\frac{3}{2}$≤k≤4，
则$\frac{5}{2}$≤1+k≤5，$\frac{1}{5}$≤$\frac{1}{1+k}$≤$\frac{2}{5}$，
$\frac{2}{5}$≤$\frac{2}{1+k}$≤$\frac{4}{5}$，-$\frac{4}{5}$≤-$\frac{2}{1+k}$≤-$\frac{2}{5}$，
$\frac{1}{5}$≤1-$\frac{2}{1+k}$≤$\frac{3}{5}$，
即$\frac{x-y}{x+y}$的最大值为$\frac{3}{5}$，
则a≥$\frac{3}{5}$，
故答案为：[$\frac{3}{5}$，+∞）

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据条件将不等式进行转化求出最值是解决本题的关键．