Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），若过其右焦点F作倾斜角为45°的直线l与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即$\frac{b}{a}$＜tan45°=1，求得a和b的不等式关系，进而转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．

解答 解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即$\frac{b}{a}$＜tan45°=1，即b＜a
∴$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＜a，
整理得c＜$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$＜$\sqrt{2}$，
∵双曲线中e＞1，
∴e的范围是（1，$\sqrt{2}$）
故答案为（1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．