Question

6．已知F₁，F₂为椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，F₁在以$Q（-\sqrt{2}，1）$为圆心，1为半径的圆C₂上，且|QF₁|+|QF₂|=2a．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过点P（0，1）的直线l₁交椭圆C₁于A，B两点，过P与l₁垂直的直线l₂交圆C₂于C，D两点，M为线段CD中点，求△MAB面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆C₂的方程为（x+$\sqrt{2}$）²+（y-1）²=1，由此圆与x轴相切，求出a，b的值，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）设l₁：x=t（y-1），则l₂：tx+y-1=0，与椭圆联立，得（t²+2）y²-2t²y+t²-4=0，由此利用弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出△MAB面积的取值范围

解答 解：（1）圆C₂的方程为（x+$\sqrt{2}$）²+（y-1）²=1，由此圆与x轴相切，切点为（$\sqrt{2}$，0），∴c=$\sqrt{2}$，
且F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），又|QF₁|+|QF₂|=3+1=2a．
∴a=2，b²=a²-c²=2，∴∴椭圆C₁的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）当l₁平行x轴的时候，l₂与圆C₂无公共点，从而△MAB不存在；
设l₁：x=t（y-1），则l₂：tx+y-1=0．
把x=t（y-1）代入椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．得（t²+2）y²-2t²y+t²-4=0，
y₁+y₂=$\frac{2{t}^{2}}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-4}{2+{t}^{2}}$，
则|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{（1+{t}^{2}）（2{t}^{2}+8）}}{{t}^{2}+2}$，
又圆心Q到l₂的距离d₁²=$\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}＜1$⇒t²＜1．
又MP⊥AB，QM⊥CD
∴M到AB的距离即Q到AB的距离，设为d₂，d₂=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$．
∴△MAB面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•d₂=$\frac{2\sqrt{{t}^{2}+4}}{{t}^{2}+2}$．
令u=$\sqrt{{t}^{2}+4}∈[2，\sqrt{5}）$，∴s=f（u）=$\frac{2u}{{u}^{2}-2}$=$\frac{2}{u-\frac{2}{u}}$∈（$\frac{2\sqrt{5}}{3}，2$]．
∴△MAB面积的取值范围为（$\frac{2\sqrt{5}}{3}，2$]．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，注意弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．属于中档题．