Question

（08年鄞州中学模拟理）（14分） 已知函数。
　　（Ⅰ）求的最小值；
　　（Ⅱ）若对所有x≥1都有，求实数a的取值范围。

Answer 1

解析：的定义域为（0，+∞）， …… 1分 的导数。  3分
　　　　令，解得；令，解得。
　　　　从而在单调递减，在单调递增。 …… 5分
　　　　所以，当时，取得最小值。 …… 6分
　　（Ⅱ）解：
　　解法一：令，则， …… 7分
　　　①若a≤1，当x＞1时，，
　　　　故在（1，+∞）上为增函数，
　　　　所以x≥1时，，即。 …… 10分
　　　②若a＞1，方程的根为 ，
　　　　此时，若x∈（1，x₀），则，故在该区间为减函数。
　　　　所以x∈（1，x₀）时，，即，
　　　　　　　　　　　　　与题设相矛盾。 …… 13分
　　　　综上，满足条件a的取值范围是。 …… 14分
　　解法二：依题意，得在上恒成立，
　　　　即不等式对于恒成立。 …… 7分
　　　　令，则。 …… 10分
　　　　当x＞1时，因为，
　　　　故是（1，+∞）上的增函数，所以的最小值是g(1)=1， …… 13分
　　　　从而a的取值范围是。 …… 13分