Question

形状如图所示的三个游戏盘中(图①是正方形，M，N分别是所在边中点，图②是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图③是正六边形，点P为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．

(1)一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
(2)用随机变量X表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．

Answer 1

（1）（2）X的分布列为

X	1	3
P

 

(1)“一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分”分别记为事件A₁，A₂，A₃.
由题意知，A₁，A₂，A₃互相独立，且P(A₁)＝，P(A₂)＝，P(A₃)＝，所以“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P(A₁A₂A₃)＝P(A₁)P(A₂)·P(A₃)＝××＝.
(2)一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分的事件数可能是0,1,2,3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3,2,1,0，所以X可能的取值为1,3.
由分析可得P(X＝3)＝P(A₁A₂A₃)＋P(₁₂₃)＝P(A₁)·P(A₂)P(A₃)＋P(₁)P(₂)P(₃)＝××＋××＝；P(X＝1)＝1－＝.
所以X的分布列为

X	1	3
P