Question

【题目】已知函数．

当时，求函数的单调增区间；

若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；

若，且对任意，，，都有，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

把代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于0求函数的单调增区间；

求原函数的导函数，由函数在上是增函数，说明其导函数在上大于等于0恒成立，在导函数中x与恒大于0，只需对恒成立，则a可求；

由知，当时在上是增函数，任取，，且规定，则不等式可转化为恒成立，引入函数，说明该函数为增函数，则其导函数在上大于等于0恒成立，分离变量后利用基本不等式可求a的最小值．

解：当时，．

则

令，得，即，解得：或．

因为函数的定义域为，

所以函数的单调增区间为．

由函数．

因为函数在上是增函数，

所以对恒成立

即对恒成立．

所以

即实数a的取值范围是．

因为，由知函数在上是增函数．

因为，，，不妨设，所以

由恒成立，可得，

即恒成立．

令，则在上应是增函数

所以对恒成立．

即对恒成立．

即对恒成立

因为当且仅当即时取等号，

所以．

所以实数a的最小值为．