Question

设a，b，c，d∈R，求证：

a2+b2

+

c2+d2

≥

(a+c)2+(b+d)2

，等号当且仅当ad=bc时成立．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：运用分析法证明，要证原不等式成立，可考虑两边平方，化简整理，再由柯西不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，即可得证．

解答： 证明：要证

a2+b2

+

c2+d2

≥

(a+c)2+(b+d)2

，
即证（

a2+b2

+

c2+d2

）²≥（

(a+c)2+(b+d)2

）²，
即为a²+b²+c²+d²+2

(a2+b2)(c2+d2)

≥（a+c）²+（b+d）²，
化简后，即证

(a2+b2)(c2+d2)

≥ac+bd，
由柯西不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，
得

(a2+b2)(c2+d2)

≥|ac+bd|≥ac+bd．
则原不等式得证．
且有原不等式中等号当且仅当ad=bc时成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，以及不等式的性质的运用，考查推理能力，属于中档题．