Question

3．已知空间三点A（-1，2，1），B（1，2，1），C（-1，6，4）
（1）求以向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$为一组邻边的平行四边形的面积S；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$分别与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$垂直，且|$\overrightarrow{a}$|=10，求向量$\overrightarrow{a}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，4，3），可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，即可得出面积．
（2）设$\overrightarrow{a}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AB}$=2x=0，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AC}$=4y+3z=0，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=10，联立解出即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，4，3），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
又|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=5，
∴以向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$为一组邻边的平行四边形的面积S=2×5=10．
（2）设$\overrightarrow{a}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AB}$=2x=0，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AC}$=4y+3z=0，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=10，
解得x=0，y=-6，z=8；或x=0，y=6，z=-8．
∴$\overrightarrow{a}$=（0，-6，8）或（0，6，-8）

点评 本题考查了空间向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式、矩形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．