Question

10．求方程x²+ax+1=0的两实根的平方和大于3的充要条件并证明．

Answer 1

分析 方程x²+ax+1=0的两实根的平方和大于3的充要条件是：|a|＞$\sqrt{5}$，根据充要条件的定义，可证得结论．

解答 解：方程x²+ax+1=0的两实根的平方和大于3的充要条件是：|a|＞$\sqrt{5}$，
理由如下：
设方程x²+ax+1=0的两根是x₁，x₂，该方程两根的平方和大于3则：
$\left\{\begin{array}{l}{△=a}^{2}-4≥0\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={a}^{2}-2＞3\end{array}\right.$，
解得|a|＞$\sqrt{5}$；
当|a|＞$\sqrt{5}$时，方程x²+ax+1=0的△=a²-4＞0，
且${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={a}^{2}-2＞3$，
综上所述，方程x²+ax+1=0的两实根的平方和大于3的充要条件是：|a|＞$\sqrt{5}$

点评 考查一元二次方程的根和判别式的关系，韦达定理，充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念