一艘轮船1小时的燃料费P元与速度v(公里/小时)的函数关系为P=kv3.已知速度为每小时10公里时,燃料费是每小时5元,而其它和速度无关的费用是每小时80元.
(1)求k的值;
(2)已知甲,乙两地相距100公里,问该轮船以多大的速度行驶时,从甲地行驶到乙地所需的费用总和为最小?
【答案】
分析:(1)由函数关系式P=kv
3.速度为每小时10公里时,燃料费是每小时5元,求出比例系数即可;
(2)根据题设要求设出行驶总费用与速度之间的函数关系式,再利用函数的导数去求函数的最小值即可.
解答:解.(1)1小时的燃料费P元与速度v(公里/小时)的函数关系为p=kv
3.
又∵5=k•10
3,∴k=0.005.…(4分)
(2)由(1)得p=0.005v
3,(v>0)
设从甲地行驶到乙地所需的费用总和为y元,
则y=
=
.(v>0)…(6分)
∴y′=
,由y′=0,得v=20(公里/小时). …(9分)
又∵当v<20时,y′<0;当v>20时,y′>0.
∴当速度为20公里/小时时,航行所需的费用总和为最小,最小值为600元.…(13分)
点评:本题是实际应用题,考查建立函数模型的能力,以及利用函数的导数研究给定区间上函数的最值问题,是高考的常考知识点.