Question

已知奇函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，且当x＞0时，f(x)＜0．

(1)判断函数f(x)在R上的单调性，并说明理由；

(2)若f(1)＝－3，x₀∈[－2，2]，求证：－9≤f(x₀＋1)≤3．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)设x1，x2是任意的两实数，且x1＜x2，则x2－x1＞0． 　　由题意，有f(x2－x1)＜0． 　　∵f(x)是奇函数，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 　　∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0， 　　∴f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在R上是单调减函数． 　　(2)∵f(1)＝－3， 　　∴f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝－6，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝－9． 　　又据f(x)是奇函数，得f(－1)＝3．由－2≤x0≤2，得－1≤x0＋1≤3． 　　再据(1)，得f(3)≤f(x0＋1)≤f(－1)，即－9≤f(x0＋1)≤3．