Question

已知函数f（x）=（2x²-kx+k）•e^-x．
（1）当k为何值时，f（x）无极值；
（2）试确定实数k的值，使f（x）的极小值为0．

Answer 1

分析：对函数求导整理可得，f′(x)=-2(x-2)(x-

k

2

) e-x
（1）f（x）无极值?函数没有单调性的改变?f′（x）≤0恒成立，从而可求k
（2）由（1）可得k≠4，分k＞4，k＜4讨论函数的单调性，进而求出函数的极小值，使其满足为0，从而可求k

解答：解：（1）∵f′（x）=（4x-k）e^-x-（2x²-kx+k）e^-x
=[-2x²+（k+4）x-2k]e^-x=-2(x-2)(x-

k

2

)e-x
∴k=4时，f′（x）=-2（x-2）²e^-x≤0，此时，f（x）无极值．（5分）
（2）当k≠4时，由f′（x）=0得x=2或x=

k

2

．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：
①当k＜4，即

k

2

＜2时

②当k＞4，即

k

2

＞2时

∴k＜4时，由f(

k

2

)=0得2×

k2

4

-

k2

2

+k=0，
∴k=0k＞4时，由f（2）=0得8-k=0，∴k=8
综上所述，k=0或8时，f（x）有极小值0．（12分）

点评：本题主要考查了导数的应用：利用导数求函数的单调性及函数的最值，而利用导数判定时，关键要看导函数的符号的变化．属于基础知识的考查．