Question

某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：

①f(x)=p·q^x；②f(x)=p+log_qx；

③f(x)=(x-1)·(x-q)²+p(以上三式中p、q均为常数，且q＞2)．

(Ⅰ)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?

(Ⅱ)若f(1)=4,f(3)=6．

①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[1，6]．其中x=1表示4月1日，x=2表示5月1日，…，以此类推)；

②为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在哪几个月内价格下跌．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵①f(x)=p·q^x是单调函数；

②f(x)=p+log_qx是单调函数；

③f(x)=(x-1)·(x-q)²+p中f′(x)=3x²-(4q+2)x+q²+2q，令f′(x)=0，得x=q，x=,f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f(x)=(x-1)·(x-q)²+p为其模拟函数．

(Ⅱ)(1)由f(1)=4，f(3)=6得

解之得(其中q=2舍去)

∴f(x)=(x-1)·(x-4)²+4=x³-9x²+24x-12(1≤x≤6)

(2)由f′(x)=3x²-18x+24＜0解得2＜x＜4

∴函数f(x)=x³-9x²+24x-12在区间(2，4)上单调递减

∴这种水果在5，6月份价格下跌．