Question

【题目】设函数f（x）=x（x﹣1）2 ， x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数 的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x﹣1）2+2x（x﹣1）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），x＞0．令f′（x）=0，得x= 或x=1，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表

∴当x= 时，有极大值f（ ）= ，当x=1时，有极小值f（1）=0

（2）解：由（1）知：f（x）在（0， ]，[1，+∞）上是增函数，在[ ，1]上是减函数，

①0＜a≤ 时，F（a）=a（a﹣1）2，G（a）=（a﹣1）2≥

特别的，当a= 时，有G（a）= ，

②当 ＜a≤1时，F（a）=f（ ）= ，G（a）= ≥

特别的，当a=1时，有G（a）= ，

由①②知，当0＜a≤1时，函数 的最小值为

（3）解：由已知得h1（x）=x+m﹣g（x）=2x2﹣3x﹣lnx+m﹣t≥0在（0，+∞）上恒成立，

∵ ，

∴x∈（0，1）时，h′1（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h1（x）＞0

∴x=1时，h′1（x）取极小值，也是最小值，

∴当h1（1）=m﹣t﹣1≥0，m≥t+1时，h1（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

同样，h2（x）=f（x）﹣x﹣m=x3﹣2x2﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，

∵h′2（x）=3x（x﹣ ），

∴x∈（0， ）时，h′2（x）＜0，x∈（ ，+∞），h′2（x）＞0，

∴x= 时，h2（x）取极小值，也是最小值，

∴ =﹣ ﹣m≥0，m≤﹣ 时，h2（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

∴t+1≤m≤﹣ ，

∵实数m有且只有一个，∴m=﹣ ，t=

【解析】（1）求导，令f′（x）=0得x= 或x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的单调性，确定函数f（x）的极值．（2）由（1）知f（x）的单调性，以极值点为界，把a分成两类讨论，在两类分别求出F（a），求G（a），求G（a）最小值，两个最小值最小者，即为所求．（3）把连等式分成两个不等式x+m﹣g（x）≥0和f（x）﹣x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立的问题，把不等式的左边看作一个函数，利用导数求最小值，两个范围求交集再由实数m有且只有一个，可求m，进而求t．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．